Turunan Fungsi Aljabar

Definisi Turunan

Turunan fungsi f(x) terhadap x didefinisikan oleh
$$f^{\prime }\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$$dengan syarat limitnya ada.

Notasi Turunan

Turunan pertama fungsi y = f(x) terhadap x dapat dinotasikan sebagai :

• y' = f '(x)  ⇒  Lagrange   
• $\frac{dy}{dx}=\frac{df\left(x\right)}{dx}$  ⇒  Leibniz   
• D_xy = D_x[f(x)]  ⇒  Euler   

Dari definisi diatas dapat diturunkan rumus-rumus turunan sebagai berikut :

1. f(x) = k  ⇒  f '(x) = 0
2. f(x) = k x  ⇒  f '(x) = k
3. f(x) = xⁿ ⇒ f '(x) = nx^n-1
4. f(x) = k u(x)  ⇒ f '(x) = k u'(x)
5. f(x) = u(x) ± v(x)  ⇒ f '(x) = u'(x) ± v'(x)

dengan k = konstan

Perhatikan contoh-contoh berikut :
1.  f(x) = 5  ⇒  f '(x) = 0
2.  f(x) = 2x  ⇒  f '(x) = 2
3.  f(x) = x² ⇒  f '(x) = 2x^2-1 = 2x
4.  y = 2x⁴  ⇒  y' = 2. 4x^4-1 = 8x³
5.  y = 2x⁴ + x² − 2x  ⇒  y' = 8x³ + 2x − 2

Untuk menentukan turunan dari fungsi yang memuat bentuk akar atau pecahan, langkah awal yang harus dilakukan adalah merubah terlebih dahulu fungsi tersebut ke dalam bentuk pangkat (eksponen).
Berikut beberapa sifat akar dan pangkat yang sering digunakan :

• $x^m.x^n=x^{m+n}$
• $\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$
• $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$
• $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$
• $\sqrt[n]{n{x}^m}=x^{\frac{m}{n}}$

Contoh 1
Tentukan turunan dari $f\left(x\right)=x\sqrt{x}$

Jawab :
$\begin{array}{c}f\left(x\right)=x\sqrt{x}=x\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}\end{array}$

$\begin{array}{cc}f\left(x\right)=x^{\frac{3}{2}}\to f^{\prime }\left(x\right)& =\frac{3}{2}{x}^{\frac{3}{2}-1}\\ & =\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}\\ & =\frac{3}{2}\sqrt{x}\end{array}$


Contoh 2
Tentukan turunan dari $f\left(x\right)=\frac{6}{\sqrt[3]{3x}}$

Jawab :
$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\frac{6}{\sqrt[3]{3x}}=6x^{-\frac{1}{3}}\end{array}$

$\begin{array}{cc}f\left(x\right)=6x^{-\frac{1}{3}}\to f^{\prime }\left(x\right)& =6\left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{1}{3}-1}\\ & =-2x^{-\frac{4}{3}}\\ & =-\frac{2}{x^{\frac{4}{3}}}\\ & =-\frac{2}{x\cdot x^{\frac{1}{3}}}\\ & =-\frac{2}{x\sqrt[3]{3x}}\end{array}$

Turunan Perkalian dan Pembagian Dua Fungsi

$$Misalkan $y=uv$, maka turunan dari y dapat dinyatakan sebagai :
$$y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$
Misalkan $y=\frac{u}{v}$, maka turunan dari y dapat dinyatakan sebagai :
$$y^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$

Contoh 3
Turunan dari f(x) = (2x + 3)(x² + 2) adalah

Jawab :
Misalkan :
u = 2x + 3 ⇒ u' = 2
v = x² + 2 ⇒ v' = 2x

f '(x) = u' v + u v'
f '(x) = 2(x² + 2) + (2x + 3) 2x
f '(x) = 2x² + 4 + 4x² + 6x
f '(x) = 6x² + 6x + 4


Contoh 4

Tentukan turunan dari  $y=\frac{x^2}{3x+1}$ !

Jawab :

Misalkan :

u = x² ⇒ u' = 2x

v = 3x + 1 ⇒ v' = 3

y' = $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

y' = $\frac{2x(3x+1)-x^2.3}{(3x+1{)}^2}$

y' = $\frac{6x^2+2x-3x^2}{(3x+1{)}^2}$

y' = $\frac{3x^2+2x}{(3x+1{)}^2}$

Aturan Rantai

Jika y = f(u), dengan u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, maka turunan y terhadap x dapat dinyatakan dalam bentuk :$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$$

Dari konsep aturan rantai diatas, maka  untuk y = uⁿ, akan diperoleh :$$\frac{dy}{dx}=\frac{d\left(u^n\right)}{du}\times \frac{du}{dx}$$$$y^{\prime }=n{u}^{n-1}.u^{\prime }$$

Secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut :

Jika f(x) = [u(x)]ⁿ dengan u(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, maka :$$f^{\prime }\left(x\right)=n{\left[u\left(x\right)\right]}^{n-1}.u^{\prime }\left(x\right)$$

$$
Contoh 5
Tentukan turunan dari f(x) = (2x + 1)⁴

     Jawab :
     Misalkan :
     u(x) = 2x + 1  ⇒  u'(x) = 2
     n = 4
     f '(x) = n[u(x)]^n-1 . u'(x)
     f '(x) = 4(2x + 1)^4-1 . 2
     f '(x) = 8(2x + 1)³ 

Contoh 6
Tentukan turunan dari y = (x² − 3x)⁷

$$
     Jawab :
     y' = 7(x² − 3x)^7-1 . (2x − 3)
     y' = (14x − 21) . (x² − 3x)⁶

Latihan Soal Turunan Fungsi Aljabar

$$Latihan 1
Tentukan turunan dari $y=2x^3-x^2+\frac{1}{2}x+4$

Jawab :
y = 2x³ − x² + $\frac{1}{2}$x + 4

y' = 2. 3x^3-1 − 2x^2-1 + $\frac{1}{2}$ + 0
y' = 6x² − 2x + $\frac{1}{2}$


Latihan 2
Tentukan turunan dari $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}$

Jawab :
f(x) = x^-2 − 3x^-1

f '(x) = −2x^-2-1 − 3. (−1)x^-1-1
f '(x) = −2x^-3 + 3x^-2
f '(x) = $-\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x^2}$


Latihan 3
Jika $f\left(x\right)=\frac{2x}{\sqrt{x}}$, maka nilai dari f '(4) adalah ...

Jawab :
f(x) = 2x.x${}^{-\frac{1}{2}}$
f(x) = 2x${}^{\frac{1}{2}}$

f '(x) = 2.$\frac{1}{2}$x${}^{\frac{1}{2}-1}$
f '(x) = x${}^{-\frac{1}{2}}$
f '(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}}$

f '(4) = $\frac{1}{\sqrt{4}}$
f '(4) = $\frac{1}{2}$


Latihan 4
Jika $f\left(x\right)=(x^2+x+1{)}^4$, nilai f '(0) adalah...

Jawab :
f '(x) = 4(x² + x + 1)^4-1 (2x + 1)
f '(x) = (8x + 4)(x² + x + 1)³

f '(0) = (8(0) + 4)((0)² + 0 + 1)³
f '(0) = 4


Latihan 5
Jika $f\left(x\right)=\sqrt[4]{4(4x-3{)}^3}$, tentukan nilai dari f '(1)

Jawab :
f(x) = (4x − 3)${}^{\frac{3}{4}}$

f '(x) = $\frac{3}{4}$(4x − 3)${}^{\frac{3}{4}-1}$. 4
f '(x) = 3(4x − 3)${}^{-\frac{1}{4}}$
f '(x) = $\frac{3}{\sqrt[4]{44x-3}}$

f '(1) = $\frac{3}{\sqrt[4]{44\left(1\right)-3}}$
f '(1) = $\frac{3}{1}$
f '(1) = 3


Latihan 6
Turunan dari $f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2\left(2x+3\right)$ adalah...

Jawab :
Misalkan :
u = (x − 1)²  ⇒ u' = 2x − 2
v = 2x + 3    ⇒ v' = 2

f '(x) = u'v + uv'
f '(x) = (2x − 2)(2x + 3) + (x − 1)². 2
f '(x) = 4x² + 2x − 6 + 2(x² − 2x + 1)
f '(x) = 4x² + 2x − 6 + 2x² − 4x + 2
f '(x) = 6x² − 2x − 4
f '(x) = (x − 1)(6x + 4)  atau
f '(x) = (2x − 2)(3x + 2)


Latihan 7
Jika $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ; cx + d  ≠ 0, maka turunan y terhadap x adalah ...

Jawab :
Misalkan :
u = ax + b  ⇒ u' = a
v = cx + d  ⇒ u' = c

y' = $\frac{u^{\prime }.v-u.v^{\prime }}{v^2}$
y' = $\frac{a(cx+d)-(ax+b)c}{(cx+d{)}^2}$
y' = $\frac{acx+ad-acx-bc}{(cx+d{)}^2}$
y' = $\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}$


Latihan 8
Carilah f '(x) jika diketahui $\frac{d}{dx}\left[f\right(2x\left)\right]=x^2$

Jawab :
Misalkan :
$u=2x\Rightarrow x=\frac{u}{2}$
$\Rightarrow \frac{d}{dx}\left[f\right(u\left)\right]=(\frac{u}{2}{)}^2$

Dengan aturan rantai :
$\frac{d}{dx}\left[f\right(u\left)\right]$ = $\frac{df\left(u\right)}{du}\times \frac{du}{dx}$

⇔ $(\frac{u}{2}{)}^2$ = f '(u) × 2
⇔ f '(u) = $\frac{1}{2}(\frac{u}{2}{)}^2$
⇔ f '(u) = $\frac{1}{8}{u}^2$

⇒ f '(x) = $\frac{1}{8}{x}^2$

${\mathrm{<br>}}^{}$