Apa bedanya integral subtitusi dan Integral parsial?

Dalam menyelesaikan integral dapat dilakukan dengan cara subtitusi dan parsial. Soal yang dapat diselesaikan dengan cara subtitusi dengan ciri-ciri: pangkat berselisih satu, bagian yang dimisalkan dapat menghabiskan yang lain, sedangkan untuk soal yang diselesaikan dengan metode parsial selisih pangkat lebih dari satu atau nol sehingga jika dimisalkan tidak menghabiskan bagian yang lain.

Contoh integral metode subtitusi: 

1. Tentukan $\int x^{2}(x^{3}-1)^{5}dx$

Jawab:

Dimisalkan $u=(x^{3}-1)$

$\frac{du}{dx}=3x^2$

$dx=\frac{du}{3x^2}$

$=\int x^{2}(x^{3}-1)^{5}dx$
$=\int x^{2}u^{5}\frac{du}{3x^2}$

$=\int{\frac{1}{3}\cdot u^5}du$
$=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}\cdot u^{6}+c$
$=\frac{1}{18}\cdot u^{6}+c$
$=\frac{1}{18}\cdot {(x^3-1)}^{6}+c$

Contoh integral metode parsial:

$\int{u\cdot dv}=u\cdot v -\int{v\cdot du}$

$\int (1-x)\sqrt{x} dx$

Misal: u=(1-x)

$\frac{du}{dx}=-1$

dx=-du

$dv=\sqrt{x}$

$v=\int \sqrt{x} dx$

$v=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$

$\int{u\cdot{dv}}=u\cdot{v}-\int{v\cdot{du}}$

$=(1-x)(\frac{2}{3}\sqrt {x^3})-\int{\frac{2}{3}\sqrt {x^3}}(-dx)$

$=(1-x)(\frac{2}{3}\sqrt {x^3})+\frac{4}{15}\sqrt {x^{5}}$

$\frac{2}{3}\sqrt {x^3}-\frac{2}{3}\sqrt {x^5}+\frac{4}{15}\sqrt {x^5}$

$\frac{2}{3}\sqrt {x^3}-\frac{6}{15}\sqrt {x^5}$

Dari contoh ini dapat dilihat bahwa variabel x berselisih ≠ 1 maka digunakan metode integral parsial.

Soal latihan

1. $\int(x+3)\sqrt{x} dx$

2. $\int(2-x){(x-1)}^2 dx$