Menentukan nilai stasioner dan titik ekstrim fungsi

Jika f(x) diferensiabel di x = a dengan $f^{\prime }\left(a\right)=0$ maka f(a) adalah nilai stasioner di x = a dan titik (a, f(a)) disebut titik stasioner dari f(x).

Perhatikan grafik fungsi berikut !

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa f(a) adalah nilai stasioner di x = a dan f(b) adalah nilai stasioner di x = b, dimana turunan pertama di titik-titik tersebut bernilai nol. Selanjutnya titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) disebut titik stasioner dari fungsi f.


Contoh 1
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi $f\left(x\right)=x^2-4x$

Jawab :
f '(x) = 2x − 4

f(x) stasioner ⇒ f '(x) = 0
⇔ 2x − 4 = 0
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2
Jadi, nilai stasioner dicapai pada saat x = 2

Nilai stasioner : f(2) = (2)2 − 4(2) = −4
Titik stasioner : (2, −4)


Contoh 2
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi $f\left(x\right)=x^3-3x+1$
Jawab :
f '(x) = 3x2 − 3

f(x) stasioner ⇒ f '(x) = 0
⇔ 3x2 − 3 = 0
⇔ x2 − 1 = 0
⇔ (x + 1)(x − 1 ) = 0
⇔ x = −1 atau x = 1

Nilai stasioner pada x = −1 :
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 1 = 3

Nilai stasioner pada x = 1 :
f(1) = (1)3 − 3(1) + 1 = −1

Titik stasioner : (−1, 3) dan (1, −1)

Nilai-nilai stasioner sering juga disebut sebagai bakal calon nilai ektrim. Ada 2 jenis ektrim fungsi, yaitu nilai balik maksimum dan nilai balik minimum. Nilai balik maksimum/minimum sering juga disebut dengan nilai maksimum/minimum relatif atau maksimum/minimum lokal.

Untuk menentukan jenis ektrim suatu fungsi dapat dilakukan dengan uji turunan pertama dan uji turunan kedua.

Uji Turunan Pertama

Misalkan f(a) adalah nilai stasioner di x = a.

1.  f(a) adalah nilai balik maksimum, jika : 

     untuk x < a maka f '(x) > 0 (naik)
     untuk x > a maka f '(x) < 0 (turun)

2.  f(a) adalah nilai balik minimum, jika :

     untuk x < a maka f '(x) < 0 (turun)
     untuk x > a maka f '(x) > 0 (naik)

Contoh 3

Dengan menggunakan uji turunan pertama, tentukan jenis ekstrim dari fungsi $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+1$

Jawab :

f '(x) = 3x² − 12x + 9

f '(x) = 0

⇔ 3x² − 12x + 9 = 0

⇔ x² − 4x + 3 = 0

⇔ (x − 1)(x − 3) = 0

⇔ x = 1 atau x = 3

Nilai stasioner di x = 1 adalah

f(1) = (1)³ − 6(1)² + 9(1) + 1 = 5

Nilai stasioner di x = 3 adalah

f(3) =  (3)³ − 6(3)² + 9(3) + 1 = 1

Karena pada x = 1 terjadi perubahan dari naik menjadi turun, maka f(1) = 5 adalah nilai balik maksimum.

Karena pada x = 3 terjadi perubahan dari turun menjadi naik, maka f(3) = 1 adalah nilai balik minimum.

Sketsa grafik 

Uji Turunan Kedua

Misalkan f(a) adalah nilai stasioner di x = a

• Jika f ''(a) < 0 maka f(a) adalah nilai balik maksimum. 
• Jika f ''(a) > 0 maka f(a) adalah nilai balik minimum. 
• Jika f ''(a) = 0 maka jenis ekstrim belum dapat ditetapkan (gunakan uji turunan pertama untuk menentukan jenis ekstrimnya)

Contoh 4

Dengan menggunakan uji turunan kedua, tentukan jenis ekstrim dari fungsi $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+1$

Jawab :

f '(x) =  3x² − 12x + 9

f ''(x) = 6x − 12

f '(x) = 0

⇔ 3x² − 12x + 9 = 0

⇔ x² − 4x + 3 = 0

⇔ (x − 1)(x - 3) = 0

⇔ x = 1 atau x = 3

Nilai stasioner pada x = 1 :

f(1) = (1)³ − 6(1)² + 9(1) + 1 = 5

Nilai stasioner pada x = 3

f(3) = (3)³ − 6(3)² + 9(3) + 1 = 1

Uji turunan kedua

f ''(1) = 6(1) − 12 = −6 < 0

Karena f ''(1) < 0 maka f(1) = 5 adalah nilai balik maksimum

f ''(3) = 6(3) − 12 = 6 > 0

Karena f ''(3) > 0 maka f(3) = 1 adalah nilai balik minimum

Contoh 5

Tentukan jenis ekstrim dari fungsi $f\left(x\right)=x^4+1$

Jawab :

f '(x) = 4x³ 

f ''(x) = 12x² 

f '(x) = 0

⇔ 4x³ = 0

⇔ x = 0

Nilai stasioner pada x = 0 :

f(0) = (0)⁴ + 1 = 1

Uji turunan kedua

f ''(0) = 12(0)²  = 0

Karena f ''(0) = 0 maka f(0) belum dapat ditetapkan

Uji turunan pertama

untuk x < 0 diperoleh f '(x) < 0 (turun)

untuk x > 0 diperoleh f '(x) > 0 (naik)

Karena pada x = 0 terjadi perubahan dari turun menjadi naik, maka f(0) = 1 adalah nilai balik minimum.

Latihan Soal

Latihan 1

Diketahui fungsi $y=a{x}^3+b{x}^2$ dengan a dan b konstan. Jika nilai stasioner di $x=1$ adalah −1, tentukan nilai a − b !

Jawab :

Substitusi titik stasioner (1, −1) ke fungsi y :

y = ax³ + bx²

⇔ −1 = a(1)³ + b(1)²

⇔ −1 = a + b .................(1)

f(x) = ax³ + bx²

f '(x) = 3ax² + 2bx

Karena f stasioner di x = 1 maka :

f '(1) = 0

⇔ 3a(1)² + 2b(1) = 0

⇔ 3a + 2b = 0 ................(2)

Eliminasi (1) dan (2)

  a +   b = −1   ×3

3a + 2b = 0     ×1

3a + 3b = −3

3a + 2b = 0   _

          b = −3

Dari persamaan (1)

a + b = −1

a + (−3) = −1

a = 2

Jadi, a − b = 2 − (−3) = 5

Latihan 2

Grafik fungsi kuadrat $f\left(x\right)=-x^2-2px+3$ mencapai nilai balik maksimum untuk absis $x=-1$. Tentukan nilai p dan koordinat titik balik maksimum fungsi tersebut !

Jawab :

f(x) = −x² − 2px + 3

f '(x) = −2x − 2p

Karena f mencapai nilai balik maksimum di $x=-1$ maka :

f '(−1) = 0

⇔ −2(−1) − 2p = 0

⇔ 2 − 2p = 0

⇔ p = 1

Untuk p = 1 maka 

f(x) = −x² − 2(1)x + 3

f(x) = −x² − 2x + 3

Nilai balik maksimum :

f(−1) = −(−1)2 − 2(−1) + 3 = 4

Jadi, titik balik maksimum : (−1, 4)

Latihan 3

Fungsi kuadrat $f\left(x\right)=a{x}^2+bx-5$ mempunyai koordinat titik balik minimum di $(2,-9)$. Hitunglah nilai $a+b$ !

Jawab :

Substitusi titik (2, −9) ke fungsi f(x)

−9 = a(2)²  + b(2) − 5
4a + 2b = −4 ......................(1)

f '(x) = 2ax + b

Karena f mencapai nilai balik minimum di $x=2$, maka :

f '(2) = 0

2a(2) + b = 0

4a + b = 0 ..........................(2)

Eliminasi (1) dan (2) diperoleh 

a = 1

b = −4

Jadi, a + b = 1 + (−4) = −3