Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

A.    PERSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK

a. Harga Mutlak

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita diharapkan pada permasalahan yang berhubungan dengan jarak. Misalnya kita ingin menghitung jarak antara kota yang satu dengan kota yang lainya. Dalam kaitannya dengan pengukuran jarak antara dua tempat ini, timbulah sesuatu keistimewaan, bahwa jarak ini harganya selalu positif. Dengan kata lain pengukuran jarak antara dua tempat nilainya tidak pernah negatif.

Secara khusus, dalam matematika untuk memberikan jaminan bahwa sesuatu itu nilainya selalu positif dinamakan sebagai harga mutlak. Secara matematis pengertian harga mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol │x│, ialah nilai positif dari nilai x dan -x. Untuk lebih jelasnya lagi, kita akan merancang konsep harga mutlak dari suatu bilangan real x hubungannya dengan konsep jarak secara geometri dari x ke 0. Sekarang kita perhatikan penjelasan untuk jarak pada garis bilangan seperti berikut ini

Untuk setiap bilangan real x, harga mutlak dari x ditulis │x│dan

Contoh. 1 :                                                                

(a)│3│ = 3

(b)│(-3)│= -(-3)= 3

(c) │0│= 0

  Contoh. 2 :

           (a) ││-2│-│-6││= │2-6│=│-4│=4

           (b) 13 + │-1-4│-3-│-8│=13+│-5│-3-8

                                          = 13 + 5 - 3 - 8 = 7

b. Persamaan dan Kesamaan

Teorema 1

Jika P(x), Q(x), dan R(x) bentuk-bentuk akar dalam x, maka untuk setiap nilai x, yang mana P(x), Q(x) dan R(x) real, kalimat terbuka P(x) = R(x) adalah ekuvalen dengan tiap-tiap dari yang berikut :

A. P(x) +R(x)    = Q(x) +R(x)      

                                                         untuk x € {x/ R(x) ≠ 0

B. P(x) .R(x)  = Q(x) .R(x) 

               

c. Persamaan Harga Mutlak

Sebagaimana telah kita ketahui dalam membahas fungsi rasional, bahwa untuk setiap bilangan real x, bahwa  √x² real dan tidak negatif, dan juga jika x ≥ 0 maka √x² = x karena x adalah satu-satunya bilangan yang tidak negatif dan kuadratnya sama dengan x². Jika x < 0, maka √x² = -x, karena (-x) > 0 dan (-x)² = x². Jadi untuk setiap bilangan real x

                                   √x = │x│= x jika x 0

                                   = -x jika x < 0

(Ingat bentuk-bentuk akar dan bilangan berpangkat).

Selanjutnya dengan memperhatikan definisi harga mutlak dan kaitannya dengan

penarikan akar di atas, kita akan melihat beberapa teorema harga mutlak, diantaranya :

Teorema 2

Untuk setiap bilangan real x berlaku

(a) │x│=│-x │

(b)│x² │= │-x² │= x

Bukti (a) :

│x │= √x²  = √(-x²) = │-x│

Bukti (b) :

│x│²= (√x²) ² = (x) ²  jika  x > 0

             =  (-x) ²  jika  x < 0

= x ²    ………………(1)

│x²│= √(x²) ² = (x² ) sebab  x ² >  0

 =  x ²    ……………..(2)

Dari (1) dan (2)

│x│²  │x² │= x²

Teorema 3

Untuk setiap x € R dan y € R (himpunan bilangan real), maka berlaku

(a) │xy│=│x│.│y│


B.     PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK

    a. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan >, ≥, <, atau ≤. Sedangkan ketidaksamaan atau pertidaksamaan mutlak (absolut) adalah pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya disebut pertidaksamaan palsu.

Contoh. 1

(a) x ≠ y

(b) x < y

(c) 2x ≥ 5

(d) x² - 5 + 6 ≤. 6

(e) │1 – x│> 2,dan sebagainya , untuk setiap x, y € R (himpunan bilangan real).

Seperti pada persamaan dalam pertidaksamaan tidak berlaku untuk setiap pengganti variabelnya. Nilai-nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan disebut penyelesaian, dan himpunan semua pengganti variabel yang menyebabkan pertidaksamaan itu menjadi kalimat tertutup yang benar disebut himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan.

Sebaliknya, suatu pertidaksamaan mutlak atau pertidaksamaan absolut adalah suatu pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Pertidaksamaan mutlak ini sering pula disebut ketidaksamaan dan tentunya ketidaksamaan ini merupakan kalimat matematika tertutup.

Contoh :

(1). (x - 1)² ≥  0

(2). X + 2 > x + 1

(3). -3x² - 7x - 6 < 0

(4). -(x - 1)² ≤ 0

(5).│3x–4│   > - │ -1│

Selain itu ada pula suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya yang disebut pertidaksamaan palsu.

Contoh :

(1). X² + 2 ≤ 0

(2). X + 2 ≥ x + 3

(3). (x - 2)²  < 0

(4).│2x - 3│  > -│-x│

b. Sifat-sifat Pertidaksamaan

Teorema 4

Jika P(x), Q(x), dan R(x) adalah ungkapan-ungkapan dalam x, maka untuk semua harga-harga x, P(x), Q(x), dan R(x) yang real, kalimat terbuka P(x) < Q(x) adalah ekivalen dengan tiap-tiap dari yang berikut :

A. P(x) + R(x) < Q(x) + R(x)

B. P(x) . R(x) < Q(x) . R(x)   untuk x € { x/R(x) > 0 }                           

C. P(x). R(x) > Q(x) . R(x)    untuk x € { x/R(x) > 0 }                            

demikian pula untuk kalimat terbuka P(x) ≤ Q(x) adalah ekuivalen dengan kalimat-kalimat terbuka dari bentuk A sampai bentuk E dengan mengganti < (atau >) dengan ≤ (atau ≥) dengan syarat yang sama pula, yaitu R(x) > 0 dan R(x) < 0 seperti di atas.

c. Pertidaksamaan Harga Mutlak

Teorema 5

Jika x € R, a € R, dan a > 0, maka x < a, jika dan hanya jika -a < x < a.

Untuk membuktikan teorema ini harus dibuktikan dua bagian, yaitu :

(1). Jika│x│< a, maka -a < x < a.

(2). Jika -a < x < a, maka   │x│ < a

Bukti :

Untuk tiap x € R,│x│  ≥ 0.

Karena a > 0, maka -a < 0

Jadi untuk tiap x, -a <│x│  .

Sekarang kita pandang dulu untuk x 0.

Dalam hal ini,│x│ = x.

Karena -a < │ x │,│x│  = x, dan │x│< a, maka -a < x < a (terbukti).

Sekarang kita pandang untuk x < 0

Dalam hal ini │ x│= -x.

Karena -a <  │x│ , │ x│ = -x, dan │x│< a, maka -a < -x < a.

Kalikan dengan (-1), diperoleh

a> x > -a atau -a < x < a (terbukti).

Teorema 6

Jika x € R, a € R, dan a > 0, maka│x│> a, jika dan hanya jika x < -a atau x > a.

Buktinya dipersilakan kepada para pembaca yang mempelajarinya untuk

mencobanya.

Contoh :

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan│ x + 1│< 3.

Penyelesaian :

Menurut teorema 5,

│ x + 1│< 3.

Jika dan hanya jika

-3 < x + 1 < 3

Tiap ruas ditambah dengan -1, didapat -4 < x < 2

Jadi himpunan penyelesaiannya

{ x / -4 < x < 2 }

Himpunan penyelesaian dapat pula ditulis dengan menggunakan simbul irisan :

{ x / x > -4 } ∩ {  x / x < 2 }.

Teorema 7

 Untuk setiap R, x ≤ │x│.

Bukti : Jika x ≥ 0, maka x = │x│(definisi)

Jika x < 0, maka x < │x │, sebab │x│≥ 0

Jadi dalam hal ini x ≤ │x│ dan –x ≤ |-x| karena |–x| = |x| = x

Teorema 8

Jika x  R, y  R, maka

(1). │x - y│≥│x│-│y│

(2). │x +y│≤ │x│+│y│

Diketahui, sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan nilai harga mutlak :

           

  1.      Persamaan Nilai Mutlak :

Untuk setiap x € R dan y € R (himpunan bilangan real), maka berlaku

(a) │xy│=│x│.│y│

    2.      Pertidaksamaan Nilai Mutlak :

Jika x  R, y  R, maka

              (a).     │x - y│≥│x│-│y│

              (b).    │x +y│≤ │x│+│y│

              (c).     │|x| - |y|│≤│x - y│

Penyelesaian Problem :

 1.      Persamaan Nilai Mutlak :

(a)   │xy│=│x│.│y│

│xy│ = √(xy)²

= √x².y²

= √x² . √y²

=│x│.│y│ ( Terbukti )

Atau

│x│.│y│   = √x² . √y²

                   = √x².y²

= √(xy)²

=│xy│( Terbukti )

2.      Pertidaksamaan Nilai Mutlak :

(a). │x - y│≤│x│+│y│

Menurut teorema 7 diatas

x ≤ |x| dan –x ≤ |-x| karena |–x| = |x| = x

juga                    

-y ≤ |-y| = |y| dan y  ≤ |y|

Dengan menjumlahkan didapat :

x – y  ≤ |x| + |y| dan

(-x+y) = - (x – y ) ≤ |x| + |y|

dan menurut teorema 8 bagian 1

│x – y│≤│x│+│y│ (Terbukti)                                 

(b). │x +y│ ≤ │x│+│y│

| x + y | = | x - (-y)| < | x | + | y |

Menurut teorema 2(a) : | y | = | -y |, maka

| x + y | < | x | + | y |  (Terbukti)

(c). │|x| - |y|│≤│x - y│

tulis x = (x – y) + y maka, dengan menggunakan ketaksamaan segitiga akan dapat :

│x│ = │(x – y) + y│≤│x - y│+│y│ jadi

│x│-│y│≤│x - y│. Kemudian dari

│y│=│y – x + x│≤│y – x│+│x│. Jadi

-│x – y│= -│y – x│≤│x│-│y│. Dari kedua kombinasi ini kita dapatkan yang akan dibuktikan.