Invers Fungsi

 

Invers Fungsi

Invers = kebalikan

 

Jika fungsi f: A → B yang dinyatakan dengan pasangan berurutan f ={(a,b)│aÎA dan bÎB} maka invers f adalah g: B → A yang dinyatakan dengan g ={(b,a)│ bÎB dan aÎA }.

 

Invers suatu fungsi hasilnya tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers fungsi merupakan fungsi, maka invers fungsi tersebut disebut fungsi invers.

 

Teorema fungsi invers: misalkan f: A → B adalah fungsi bijektif maka f ^-1: B → A menyatakan fungsi invers dari f yang juga bijektif

 

Langkah-langkah menentukan fungsi invers:

1.      Misalkan y = f(x) kemudian ubah menjadi x = g(y)

2.      Tuliskan x sebagai f ^-1(y) = g(y)

3.      Ubahlah huruf y dengan x sehingga didapat rumus fungsi invers f ^-1(x)

 

Contoh:

1.      Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1, tentukan f ^-1(x).

Jawab:

f(x) = 2x + 1

    y = 2x + 1

 y – 1 = 2x

$\frac{y-1}{2}$= x

f ^-1(x) = $\frac{x-1}{2}$ (jangan lupa merubah variabel y menjadi x)

 

 

2.      Diketahui fungsi g(x) = $\frac{2x-1}{3x+2}$ , tentukan g ^-1(x).

Jawab:

g(x) = $\frac{2x-1}{3x+2}$

y = $\frac{2x-1}{3x+2}$

y(3x + 2) = 2x – 1

   3xy + 2y = 2x – 1

  3xy – 2x = – 2y – 1

 x(3y – 2) = – 2y – 1

x = $\frac{-2y-1}{3y-2}$

g ^-1(x) = $\frac{-2x-1}{3x-2}$ (jangan lupa merubah variabel y menjadi x)

 

3.      Diketahui fungsi h(x) = 2x² – 12x + 4, tentukan h ^-1(x).

Jawab:

h(x) = 2x² – 12x + 4

     y = 2x² – 12x + 4

$\frac {y}{2}$= x² – 6x + 2

    $\frac {y}{2}$  = x² – 6x +$(\frac {-6}{2})^2$ – 7

    $\frac {y}{2}$  = (x –  3)²  –  7

$\frac {y}{2}$  +7 = (x – 3)²

 

$\sqrt{\frac{y}{2}+7}$ = x-3

 

$\sqrt{\frac{y}{2}+7}$ + 3 = x

h ^-1(x) = $\sqrt{\frac{x}{2}+7}$ + 3

 

 

Invers fungsi juga berlaku:

1.       (fog)^{– 1} (x)      = (g^{– 1}of^{– 1})(x)

2.      f(x) = $\frac{ax+b}{cx+d}$, maka f^{– 1}(x)= $\frac{-dx+b}{cx-a}$

3.      f(x) = ^alog x, maka f^{– 1}(x)= a^x

4.      f(x) = a^x, maka f^{– 1}(x)= ^alog x

soal latihan

Tentukan  fungsi invers dari fungsi-fungsi berikut:

a. f(x) = $\frac{1}{3}$x + 5

b. g(x) = $\frac{5x+1}{\frac{1}{4}x+2}$

c. h(x) = $\frac{1}{2}$x² – 6x + 4

Grafik suatu fungsi dan grafik fungsi inversnya

grafik fungsi bijektif y = f(x) pada himpunan bilangan real adalah sebuah kurva yang dibangun oleh himpunan titik-titik {(x, y = f(x)}.

sementara itu, grafik fungsi invers $f^{-1}$ (x) ditentukan oleh himpunan titik-titik {(y = f(x),x)}. 

artinya bahwa grafik fungsi $f^{-1}$ (x) adalah pencerminan dari grafik y = f(x) terhadap garis y = x.

berikut contohnya:

diketahui fungsi f(x) = $x^2$ gambarkan grafik fungsi f(x) dan fungsi inversnya $f^{-1}$ (x) dengan domain Df (x) = { $0\leq x\leq 9$,$x\in real$  }

fungsi invers dari f(x) adalah $f^{-1}$ (x)

f(x) = $x^2$

y     = $x^2$

$ \sqrt{y} $ = x

$f^{-1}$ (x) = $ \sqrt{x} $

dengan Df (x) = { $0\leq x\leq 9$, $x\in real$  } diperoleh Rf (x) = { $0\leq x\leq 9$,$x\in real$  }

bisa juga dengan mengambil beberapa sampel dari nilai x yang dapat dioperasikan seperti:

f(0) = $ \sqrt{0} $ = 0

f(1) = $ \sqrt{1} $ = 1

f(4) = $ \sqrt{4} $ = 2

f(9) = $ \sqrt{9} $ = 3

sehingga kalian dapat mengambil titik-titik tersebut sebagai acuan dalam menggambar grafik fungsi invers. kalian juga dapat menggambarnya dengan menggunakan aplikasi geogebra. Berikut adalah hasil grafik fungsi f(x) dan fungsi inversnya $f^{-1}$ (x) dengan domain Df (x) = { $0\leq x\leq 9$, $x\in real$  }

sebagai latihan 

gambarlah setiap fungsi berikut beserta inversnya dengan domain Df (x)={$0\leq x\leq 9$,$x\in real$}

1. y = 2x + 1
2. y = $ \sqrt{x+1} $
3. y = $ \frac{3x+2}{x+2} $